060抽出順によらない当たりやすさ

問題

12本のくじの中に当たりくじが3本ある。 $A$ 、 $B$ 、 $C$ の3人がこの順に、無作為に1本ずつ引く。引いたくじはもとに戻さない。

(1) $C$ が当たる確率を求めよ。

(2) 3人のうち、最も当たりやすい人は誰か。全員同じである場合は、そのように答えよ。

一応、条件付き確率で取り上げてはいますが、あまりその色は濃くないと思います。時系列が逆になると難しくなります。例えば「 $C$ が当たりくじを引いたとき、 $A$ が当たりくじを引いていた確率を求めなさい」といった問題です。

今回は、各人が当たりを引く確率を求めるので、順を追って場合分けをするだけであり、これまでの確率の問題とほぼ同じ温度感です。

ただし、「くじ引きの公平性」を確認するにはよい問題です。いわゆる、先にくじを引いた方がいいのか悪いのかという話で、かなりの人が誤解している話です。こういった話は学校の先生が結構好きなので、ねらい目かもしれません。

「途中で何が分かっているかによって、確率の考え方がどう変わるか」という点では、モンティ・ホール問題にもつながる面白い話だと思います。

$C$ が引く前に、当たりが0本・1本・2本出た場合に分ける。 $C$ が引くとき、くじは残り10本である。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
当たりが0本出た場合は、 $A$ 、 $B$ がともにはずれを引き、 $C$ が当たりを引くので、
$\frac{9}{12}\times\frac{8}{11}\times\frac{3}{10}=\frac{216}{1320}$
当たりが1本出た場合は、 $A$ だけが当たる場合と $B$ だけが当たる場合があり、この2つの順番の確率は同じである。それぞれの後に $C$ が当たる確率を合わせると、
$2\times\frac{3}{12}\times\frac{9}{11}\times\frac{2}{10}=\frac{108}{1320}$
当たりが2本出た場合は、 $A$ 、 $B$ がともに当たりを引き、 $C$ も当たりを引くので、
$\frac{3}{12}\times\frac{2}{11}\times\frac{1}{10}=\frac{6}{1320}$
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3つの場合は排反なので、求める確率は、
$\frac{216+108+6}{1320}=\frac{330}{1320}=\frac{1}{4}$
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12本中3本が当たりなので、
$\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$
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$A$ が当たる場合と、はずれる場合に分ける。2つの場合は排反なので、 $B$ が当たる確率は、
$\frac{3}{12}\times\frac{2}{11}+\frac{9}{12}\times\frac{3}{11} =\frac{6}{132}+\frac{27}{132} =\frac{33}{132}=\frac{1}{4}$
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$A$ 、 $B$ が当たる確率はともに $\dfrac{1}{4}$ 。(1)より $C$ も $\dfrac{1}{4}$ なので、3人とも当たりやすさは同じである。
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