052反復試行の複数条件

問題

白玉2個、赤玉3個が入った袋から、無作為に玉を1個取り出し、色を調べてからもとに戻してよく混ぜる。この操作を5回行うとき、次の確率を求めよ。

(1) 白玉が4回以上出る確率

(2) 5回目に2度目の白玉が出る確率

反復試行の標準的な問題です。最も基本的な反復試行の問題よりも1段階負荷は上がっていますが、反復試行自体の負荷を考えると、あまり差はないかもしれません。

手持ちの準拠問題集を見たところ、反復試行の基本問題は2問だけでした。あとの大部分は標準・応用に振り分けられています。重要なところにもかかわらず基本問題の数が少ないことから見ても、やはり反復試行の負荷そのものが高そうです。

本問題のような王道形を押さえておくだけでも、十分得点につながるかもしれません。

白玉が4回以上出るのは、4回出る場合と5回出る場合である。白玉が出る確率は $\dfrac{2}{5}$ 、出ない確率は $\dfrac{3}{5}$ で、各回は独立なので、それぞれ反復試行の公式を用いる。

白玉が4回出る確率は、
${}_5C_4\left(\frac{2}{5}\right)^4\left(\frac{3}{5}\right) =\frac{240}{3125}$
白玉が5回出る確率は、
${}_5C_5\left(\frac{2}{5}\right)^5 =\frac{32}{3125}$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
白玉が4回出る場合と5回出る場合は排反なので、求める確率は、
$\frac{240}{3125}+\frac{32}{3125}=\frac{272}{3125}$
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「5回目に2度目の白玉が出る」とは、最初の4回で白玉が1回出て、5回目に白玉が出ることである。

最初の4回には反復試行の公式を用い、さらに5回目に白玉が出る確率を掛ける。各回は独立なので、求める確率は、
${}_4C_1\left(\frac{2}{5}\right)\left(\frac{3}{5}\right)^3\times\frac{2}{5} =4\times\frac{2}{5}\times\frac{27}{125}\times\frac{2}{5} =\frac{432}{3125}$
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