033同じものの分配と重複組合せ

「重複組合せ」の基本問題です。基本問題とはいうものの、重複組合せという考え方自体が難しいです。

なお、重複組合せは、教科書によっては本文の本筋として扱われず、後ろの「研究」などに掲載されていることがあります。学校の授業で扱ったか、使用している教科書や問題集で学習範囲に含まれているかを、しっかり確認してから取り組んでください。未習の場合は、通常の組合せの知識だけで無理に解こうとせず、まず重複組合せの考え方を確認した方がよいでしょう。

その理由の1つは、

という流れになりやすいことです。

実際、問題を見て何とか解こうとすると、それらしい答えは出せます。しかし、もっともらしい誤答へつながるルートがいくつか存在します。例えば、次のような考え方です。

7個のあめをすべて区別できるのであれば、この考え方で合っています。しかし、今回は同じ種類のあめであり、1個ずつを区別できません。

これは、以前に扱った部屋分けと似ています。部屋分けでは、部屋へ入る人を1人ずつ区別できたため、それぞれの行き先を考えられました。今回は、配るあめを区別できないため、答えは $4^7$ にはなりません。