036組合せを利用する同時抽出の確率

確率の基礎問題です。ただし、確率全体を勉強するうえで、相当に重要な問題です。ここをしっかり押さえられるかが、その後の確率の学習を決めるといってもよいと思います。

もし「ノー勉」で確率のテストを受けたらどうなるか、想定してみます。(1)を例にすると、次のように考えるかもしれません。

まず、全体の選び方は、

(白, 白, 白)、(白, 白, 赤)、(白, 赤, 赤)、(赤, 赤, 赤)

の4パターン。そのうち、白玉2個と赤玉1個になるのは、

(白, 白, 赤)

の1パターン。したがって、確率は $\dfrac{1}{4}$ である。

これは間違いです。

色の内訳が4パターンあること自体は正しいのですが、この4パターンは同じ確率で起こるわけではありません。

ここでは、同じ色の玉どうしも区別して考える必要があります。見た目は同じでも、白玉には白1、白2、白3、白4、白5、赤玉には赤1、赤2、赤3と番号が振ってあると思ってください。

そのうえで、選ばれる3個の組を考えると、

(白1, 白2, 白3)、(白1, 白2, 白4)、……、(白2, 白5, 赤2)、……

となり、すべてを書き出すにはかなりの手間がかかります。(1)の条件に合う組合せも同様です。同じ「白玉2個と赤玉1個」でも、どの白玉・赤玉を選ぶかによって、異なる組合せになります。

そこで、計算によって求めます。ただ、その計算方法を自分でその場で思いつくのは、なかなか難しいと思います。また、計算方法を教わっても、すんなり「受け入れる」ことができるとは限りません。

最初はしっくりこない状態で学習を進めることになるかもしれませんが、これはしょうがないです。まずは、同じ色の玉も1個ずつ区別して考えることを押さえてください。具体的な計算方法については、解法メタで説明します。