022空室を許す部屋分けと空室を除く部屋分け

問題

7人を2つの部屋A、Bに入れる方法について、次の問いに答えよ。

(1) 誰も入らない部屋があってもよいとき、入れ方は何通りあるか。

(2) どちらの部屋にも少なくとも1人は入るものとするとき、入れ方は何通りあるか。

重複順列の王道問題の1つです。今回は「部屋分け」に関する問題です。似たものに「グループ分け」がありますが、この2つは区別する必要があります。

3人のAさん、Bさん、Cさんがいる場合を考えます。

部屋分けでは、

① 101号室にAさんとBさん、102号室にCさん
② 101号室にCさん、102号室にAさんとBさん

は別の入れ方です。101号室と102号室は区別されているため、誰がどちらの部屋に入るかが変われば別物になります。これはイメージどおりだと思います。

一方、グループ分けでは、

① AさんとBさんの組、Cさんの組
② Cさんの組、AさんとBさんの組

は同じ分け方です。2つの組を書く順番を入れ替えただけだからです。

したがって、部屋分けなのかグループ分けなのかによって、答えは変わります。ただし、「A組・B組」や「1班・2班」のようにグループに名前が付いている場合は、それぞれを区別するため、部屋分けと同じ考え方になります。