016隣り合う・向かい合う円順列

(1)は「隣り合う」＋「円順列」で考えます。逆に、(2)は円順列における「1人を固定する」という考え方だけで対応できます。

(1)の方が手順は長いですが、不思議と考えやすい気がします。(2)は、$A$ を固定すれば後はするすると解けますが、少し怖い感じがあります。

(2)の流れは、

$$A\text{を固定} \;\longrightarrow\; B\text{の位置が自動的に決まる} \;\longrightarrow\; \text{残り6人を普通の順列として並べる}$$

となります。

ここで、「$A$ と $B$ を入れ替える2通りを掛けなくてよいのか」「残り6人を円順列として考えなくてよいのか」と、少し引っかかるかもしれません。

しかし、最初に $A$ を固定した時点で、回転による重複はすでに取り除かれています。また、$B$ が座る向かい側の位置は1か所だけです。残りの6か所は、固定した $A$ を基準として区別できるため、残り6人を普通の順列として並べればよいです。実は一本道です。