042複数の場合に分けて加える同時抽出

問題

10本のくじの中に当たりくじが4本ある。このくじを無作為に4本同時に引くとき、当たりくじが3本以上含まれる確率を求めよ。

「一応」排反事象の問題です。3本以上の当たりくじなので、自分で場合分けして解く必要があります。むしろこの「場合分け」の方がメインかもしれません。

また、くじ引きにおいて、4本同時に引いても、引いたくじを戻さずに1本ずつ4回引いても、当たりの本数に関する確率は同じです。したがって、分数の掛け算を使いたくなるかもしれません。もちろんそれでも解けますが、その場合は当たりと外れの並び方に注意する必要があります。

例えば、当当当外の順に引く確率は、次の計算です。

\frac{4}{10}\times\frac{3}{9}\times\frac{2}{8}\times\frac{6}{7}

しかし、当当外当は上に含まれていません。したがって、できれば $C$ を使った組合せの計算で処理できるようになった方が、効率的かつミスが減ります。

当たりが3本以上なので、当たりが3本の場合と4本の場合に分ける。

全体の選び方は ${}_{10}C_4$ 通りで、どの選び方も同様に確からしい。

当たりが3本の場合は、当たり4本から3本、外れ6本から1本を選ぶので、確率は、
$\frac{{}_4C_3\times{}_6C_1}{{}_{10}C_4}=\frac{24}{210}$
当たりが4本の場合は、当たり4本から4本を選ぶので、確率は、
$\frac{{}_4C_4}{{}_{10}C_4}=\frac{1}{210}$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
当たりが3本の場合と4本の場合は同時に起こらないので、2つの事象は排反である。

したがって、求める確率は、
$\frac{24}{210}+\frac{1}{210} =\frac{25}{210} =\frac{5}{42}$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。