025多角形の頂点から図形を選ぶ

問題

正九角形について、次の数を求めよ。

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

(2) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数

(3) 対角線の本数

「組合せ」に関する王道問題です。かなりよく出題される問題で、題材が何角形であっても、基本的な考え方は同じです。

(1)(2)では、図形を作ることを別の角度から見ます。つまり、

k\text{角形を作る} \quad\Longleftrightarrow\quad k\text{個の頂点を選ぶ}

と考えます。

少しひねられた問題では、「作った $k$ 角形が元の図形の辺を含まない」といった条件が追加されることもあります。

(3)の対角線も頻出ですが、(1)(2)より少し負荷が上がります。次の点に注意してください。

\text{対角線を作る} \quad\Longleftrightarrow\quad \text{2個の頂点を選ぶ} + \text{隣り合う頂点の組を除く}

隣り合う2個の頂点を選んだ場合、それらを結ぶ線分は対角線ではなく、元の多角形の辺になります。そのため、隣り合う頂点を選んだ場合を除かなければなりません。

ちょっとした罠なので、学校の先生が好きそうなところです。

正九角形の9個の頂点から3個を選び、それらを結ぶと三角形ができる。
${}_9C_3=84$
したがって、84個。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

正九角形の9個の頂点から4個を選び、それらを結ぶと四角形ができる。
${}_9C_4=126$
したがって、126個。
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9個の頂点から2個を選んでできる線分は、
${}_9C_2=36$
本である。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
36本の線分には、正九角形の9本の辺も含まれている。

辺は対角線ではないので、
$36-9=27$
より、対角線は27本。
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