050最大値・最小値を条件とする反復確率

問題

1個のさいころを3回投げる。各目は同様に確からしく、各回の試行は互いに独立とする。次の確率を求めよ。

(1) 出た目の最大値が4である確率

(2) 出た目の最小値が3である確率

独立な試行の応用問題です。本問題はテストの事前に1回でも触れておくと、少し得をするかもしれません。明確な工夫の仕方が存在しており、その方法をとらない場合、なかなかに複雑化します。

問題の中に最大値・最小値という言葉が出てくるため、見た目が少し特徴的です。確率の範囲においてはさほど出てくる言葉ではないので、見分けはつきやすいかもしれません。さいころに限らず、トランプなどでも同じような問題が作れると思います。

間違いやすい考え方の1例をお見せします。例えば(1)であれば、

1回目：4、2回目：1～4、3回目：1～4

として、あとは4が出る場所が2回目、3回目の場合も考え、3つの場合の数を足す方法です。

この方法ですと答えは合いません。例えば、出た目が $(4,4,2)$ の場合は、「1回目が4の場合」にも「2回目が4の場合」にも含まれるため、同じ結果を2回数えてしまいます。 $(4,4,4)$ なら3回です。

4が出る場所を1つ指定しても、ほかの場所に4が出ないとは限りません。この重複があるので、単純に足すことはできないわけです。

最大値が4となるのは、「すべて4以下」の場合から「すべて3以下」の場合を除いたものである。除いた後に残るのは、すべて4以下で、4が少なくとも1回出る場合である。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
各回の試行は互いに独立なので、「すべて4以下」の確率は $\left(\dfrac{4}{6}\right)^3$ 、「すべて3以下」の確率は $\left(\dfrac{3}{6}\right)^3$ 。

後者は前者に含まれるので、求める確率は、
$\left(\frac{4}{6}\right)^3-\left(\frac{3}{6}\right)^3 =\frac{64-27}{216} =\frac{37}{216}$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

最小値が3となるのは、「すべて3以上」の場合から「すべて4以上」の場合を除いたものである。除いた後に残るのは、すべて3以上で、3が少なくとも1回出る場合である。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
各回の試行は互いに独立なので、「すべて3以上」の確率は $\left(\dfrac{4}{6}\right)^3$ 、「すべて4以上」の確率は $\left(\dfrac{3}{6}\right)^3$ 。

後者は前者に含まれるので、求める確率は、
$\left(\frac{4}{6}\right)^3-\left(\frac{3}{6}\right)^3 =\frac{64-27}{216} =\frac{37}{216}$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。