044複数色の玉を取り出す複合的な確率

本問題を分数の掛け算で処理しようとすると、かなり厳しいため、組合せ $C$ を用いて解くことをおすすめします。

(1)では、まず場合分けが必要です。全体で4個の玉を取り出し、3色すべてを含むので、個数の内訳は「2個・1個・1個」になります。例えば、白2個・赤1個・青1個というパターンです。2個になる色に注目して場合を分けます。

さらに、(2)はちょうど2色という条件です。白と赤の組だけを考えても、白1個・赤3個、白2個・赤2個、白3個・赤1個があります。これをほかの色の組についても考えるとなると、作業量が増えます。実際のテストであれば、この時点で「何か工夫できないか？」と疑いたいところです。

ここで、(1)ですでに3色の場合を求めていることに注目します。よくある流れですが、前の小問の結果が使えないか考えてみましょう。

取り出した玉の色は、1色・2色・3色のいずれかです。したがって、

$$\begin{aligned} \text{全体の場合の数} ={}&\text{1色の場合の数}+\text{2色の場合の数}\\ &+\text{3色の場合の数} \end{aligned}$$

という関係があります。3色の場合が分かっているので、残る1色・2色のうち、どちらかが求まれば、もう一方も求まるわけです。